Résolution numérique de systèmes Markoviens. Parallélisation de la méthode d'Arnoldi

par Christophe Calmettes

Thèse de doctorat en Automatique

Sous la direction de FRANCOISE LEGALL.

Soutenue en 1997

à Toulouse 3 .

mots clés

• Sciences et techniques communes
• Mathematiques
• Systeme markov
• Methode numerique
• Methode iterative
• Vecteur propre
• Methode projection
• Algorithme parallele
• Memoire repartie
• Matrice tridiagonale
• Methode arnoldi
• Markov, Processus de
• Programmation parallèle (informatique)
• Matrices stochastiques

Résumé

Le travail presente dans le memoire de these s'inscrit dans le domaine de resolution numerique des systemes markoviens. Les systemes markoviens derivent de la modelisation de certains processus physiques dont le comportement de type aleatoire peut-etre represente par une loi probabiliste de type sans memoire. La matrice de transition associee est generalement creuse et de tres grande dimension. Resoudre un systeme markovien, c'est rechercher la distribution de probabilites de tous les etats du systeme. Nous nous interessons au regime stationnaire d'une chaine de markov ergodique ; la distribution des probabilites est unique et independante de l'etat initial. Apres un rappel des methodes numeriques utilisees dans le domaine, l'accent est mis sur une methode iterative de projection orthogonale: la methode d'arnoldi. Dans un premier temps, une heuristique, basee sur le controle de la dimension de la base de krylov et visant a accelerer la convergence de la methode est proposee ; sa validite est etablie sur une serie d'exemples. Une application aux t-matrices (matrices tridiagonales par bloc dont les blocs diagonaux sont eux-memes diagonaux) est proposee ; par une technique de reduction d'etats appropriee, nous montrons qu'il est possible de reduire de moitie la dimension du systeme a resoudre. Enfin, notre attention s'est portee sur la parallelisation de la methode d'arnoldi. L'etude et la mise en uvre sont realisees sur trois calculateurs paralleles - la machine tnode tn352, l'hypercube ipsc860 et la machine paragon - et sur un reseau heterogene de stations de travail. En fonction des caracteristiques des machines, le partitionnement des donnees repondra prioritairement a un souci d'equilibrage de charge ou de minimisation des communications. Differentes versions paralleles de l'algorithme de gram-schmidt sont proposees visant a optimiser l'efficacite des applications paralleles et a utiliser au mieux les potentialites des machines paralleles

Titre traduit

Numerical resolution of markov systems. Parallelization of the arnoldi method

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