La transformée de Legendre-Fenchel et la convexifiée d'une fonction : algorithmes rapides de calcul, analyse et régularité du second ordre

par Yves Lucet

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes Analyse convexe et optimisation

Sous la direction de Jean-Baptiste Hiriart-Urruty.

Soutenue en 1997

à Toulouse 3 .

mots clés

Résumé

En utilisant des techniques d'optimisation et d'analyse convexe en dimension finie, nous etudions trois transformees bien connues en optimisation: la transformee de legendre-fenchel (ou conjuguee), l'enveloppe convexe (ou biconjuguee) et la regularisee de moreau-yosida. Dans une premiere partie, le calcul numerique de la transformee de legendre-fenchel d'une fonction est presente. Nous demontrons la convergence de la discretisee, nous etudions un algorithme de meme complexite (nombre maximal d'operations elementaires) que la transformee de fourier rapide et nous proposons un nouvel algorithme de complexite lineaire. Il devient ainsi possible de resoudre numeriquement des problemes ou la transformee de legendre-fenchel n'etait jusqu'a present qu'un outil theorique. La deuxieme partie etudie la conservation des proprietes de regularite par convexification. Etant donnee une fonction reguliere, nous nous interessons a la regularite au second ordre de son enveloppe convexe. Nous demontrons l'existence de derivees secondes directionnelles de l'enveloppe convexe d'une fonction d'une seule variable. Pour les fonctions de plusieurs variables, nous presentons divers resultats bases sur des approches geometrique, analytique et de type fonction marginale. Dans la derniere partie, nous etudions les proprietes au second ordre de la regularisee de moreau-yosida d'une fonction convexe f. Nous caracterisons l'existence du hessien de la regularisee et donnons des formules explicites reliant ce hessien a l'epi-derivee seconde de f. Ces resultats sont etendus au cas de la regularisee par inf-convolution avec un noyau convexe possedant de bonnes proprietes duales

Titre traduit

The legendre-fenchel transform and the convex hull of a function : fast computational algorithms, second-order smoothness and analysis

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