Comportement hydrodynamique de différents processus de zéro range

par Abdellatif Koukkous

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Ellen Saada.

Soutenue en 1997

à Rouen .

mots clés

• Central limit theorem
• Stochastic process
• Hydrodynamics
• Weak convergence
• Processus stochastiques
• Hydrodynamique
• Théorème de la limite centrale
• Convergence (mathématiques)

Résumé

Cette thèse comprend trois parties. Dans la première, nous étudions le comportement asymptotique d'un processus de zéro range symétrique en volume fini dans un environnement aléatoire. Nous démontrons que, pour presque tout environnement, la mesure empirique converge en probabilité vers l'unique solution faible d'une équation de diffusion non linéaire indépendante de l'environnement. Dans la seconde partie, réalisée en collaboration avec G. Gielis et C. Landim, nous abordons le problème des fluctuations à l'équilibre pour le processus de zéro range avec environnement aléatoire. Il s'agit d'obtenir un résultat de type théorème central limite pour le champ de densité, autrement dit de montrer que le champ des fluctuations de la densité converge en loi vers un champ gaussien généralisé. Nous établissons le principe de Boltzmann-Gibbs et la convergence faible du champ de fluctuations de la densité du processus de zéro range en environnement aléatoire vers un processus d'Ornstein-Uhlenbeck généralisé dont l'évolution est décrite par linéarisation de l'équation hydrodynamique autour d'une densité fixée en présence d'un bruit blanc. Dans la dernière partie, réalisée en collaboration avec O. Benois et C. Landim, nous donnons une nouvelle interprétation des corrections de Navier-Stokes à l'équation hydrodynamique d'un système asymétrique de particules en interaction. Nous considérons un système dont la mesure initiale est associée à un profil constant dans la direction de la dérive. Nous montrons que, sous une renormalisation diffusive, le comportement du processus est décrit par une équation parabolique non linéaire dont le coefficient de diffusion coïncide avec le coefficient de diffusion de l'équation hydrodynamique de la version symétrique du processus.

Titre traduit

Hydrodynamic behavior of different zero range processes

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