Etude de quelques modèles de systèmes désordonnés

par ALAIN TOUBOL

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Francis Comets.

Soutenue en 1997

à Paris 7 .

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Résumé

Le theme general de la these est l'etude de systemes desordonnes de type sherrington-kirkpatrick, essentiellement par une methode de calcul stochastique. Le cur de la methode developpee est une generalisation des techniques de calcul stochastiques introduites par comets et neveu en 1995 pour decrire le comportement limite a haute temperature du modele de sherrington-kirkpatrick dans le cas ou les spins sont des variables aleatoires independantes. Le premier chapitre etend cette approche au cas d'un couplage ferromagnetique ou paramagnetique entre les spins et il est prouve qu'a haute temperature le comportement du modele est le meme qu'en l'absence de couplage. Le second volet de cette these generalise cette situation a un modele de sherrington-kirkpatrick multidimensionnel, avec une application au modele de heisenberg (spins uniformement repartis sur une sphere de r d). L'outil principal utilise est la troncature de la fonction de partition en dehors d'un voisinage d'une trajectoire typique d'une fonction de l'energie. Cette approche est generalisee a une modele local par decomposition en serie de fourier. Le troisieme volet de cette these examine le comportement asymptotique d'un modele de champ moyen classique perturbe par un petit terme de type sherrington-kirkpatrick. On montre que suivant l'ordre de grandeur de la perturbation, celle-ci peut etre sans effet ou conduire a l'apparition de metastates au sens de newman et stein (1996). Le dernier volet de cette these revient sur le rem (random energy model) de derrida, en precisant le sens dans lequel il est la generalisation d'un modele d'interaction a p spins.

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