Variétés lorentziennes à courbure constante et surfaces projectives complexes

par Bruno Klingler

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Yves Benoist.

Soutenue en 1997

à Paris 7 .

mots clés

• Lorentz, Groupes de

Résumé

Cette thèse est une contribution à l'étude des variétés compactes qui possèdent certaines structures géométriques. On considère un groupe de Lie G agissant analytiquement sur une variété X et on dit qu'une variété M possède une (G,X) - structure si elle possède un atlas formé de cartes à valeurs dans X, tels que les changements de cartes soient des restrictions d'éléments de G. Une telle structure est dite complète lorsqu'elle est obtenue comme quotient de X par l'action d'un sous-groupe discret de G agissant de manière co-compacte sur X. L'essentiel de cette thèse est consacré à deux cas particuliers importants : 1) X est l'espace Lorentzien complet simplement connexe de courbure constante -1, 0 ou 1 et G son groupe d'isométries. 2) X = C#2 (respectivement P#2C) et G est le groupe affine complexe (respectivement projectif). Dans le premier cas, le résultat principal est qu'une métrique Lorentzienne à courbure constante sur une variété compacte est nécessairement complète. Comme corollaire, il n'existe pas de telle variété compacte si la courbure est positive. Ce théorème avait été démontré dans le cas de courbure nulle par carrière. Dans le deuxième cas, on étudie les surfaces complexes compactes qui possèdent des sructures affines ou projectives (complexes). Ce problème a été abordé par Inoué, Kobayashi et Ochiai qui ont démontré quelles sont les surfaces qui admettent de telles structures mais n'ont pas obtenu la classification de ces structures. C'est ce qui est fait ici : pour chacune des surfaces de la liste de Inoué, Kobayashi et Ochiai, on détermine l'espace de ses structures affines et projectives (à l'exception des surfaces complexes admettant une structure hyperbolique complexe : on ignore si elles admettent d'autres structures projectives).

Titre traduit

Lorentzian manifolds with constant curvature and projective complex surfaces

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