Groupes libres, automates et commutation

Free groups, automata and commutativity

• Auteur / Autrice : FLAVIO D'ALESSANDRO
• Direction : Pascal Weil
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Le travail accompli dans cette these s'inscrit dans le cadre de l'informatique theorique et, plus precisement, dans la theorie des automates fini et de la theorie des equations dans les monoides de type fini. Le travail accompli dans cette these concerne l'etude des suivantes trois problemes. Le premier probleme aborde, porte sur une question de decidabilite dans les groupes libres : precisement, nous demontrons qu'une certaine propriete des langages formels, dite de puissance finie, est decidable pour la famille des sous-ensembles rationnels du groupe libre. Dans le deuxieme probleme, nous caracterisons les solutions de l'equation de commutation xy = yx dans les monoides inversifs libres. Nous demontrons, en particulier, la propriete suivante : supposons que x et y sont deux elements non-idempotents qui commutent. Alors il existe deux elements et z et deux entiers positifs n et m tels que x et y sont conjugues a puissances positives de z, ie x = z#n and y = z#m. Dans la troisieme partie du probleme, on reprend letude de la commutation dans un contexte algebrique different : la theorie des corps. Un theoreme prouve par i. N. Herstein en 1956 montre que si le group multiplicatif d'un corps est nilpotent, alors il est commutatif. Nous etendons ce resultat a la classe des corps dont le groupe multiplicatif est fc-nilpotent.