Effets dispersifs pour les equations de vlasov et de schrodinger

par François Castella

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Benoît Perthame.

Soutenue en 1997

à Paris 6 .

mots clés

Résumé

Cette these vise a approfondir l'analogie de structure entre l'equation de schrodinger de la mecanique quantique et l'equation de vlasov de la mecanique classique. Cette analogie repose sur les proprietes dispersives de ces deux equations, et permet d'exhiber des effets regualrisants nouveaux dans les equations de vlasov, qui sont pourtant reversibles en temps. Ainsi, le premier chapitre est consacre a l'etude d'un systeme infini d'equations de schrodinger, pour lequel nous exhibons des solutions dans un cadre l#2 (masse finie), et non pas h#1 (espace d'energie). Ce resultat repose sur une inegalite de type strichartz pour le systeme de schrodinger. Dans le meme esprit, nous montrons dans le second chapitre des inegalites de type strichartz pour l'equation de vlasov. Dans ces deux chapitres, les inegalites demontrees indiquent des effets regularisants presque partout en temps, liees au caractere dispersif des equations considerees. Dans le troisieme chapitre, nous etudions comment, dans l'equation de vlasov-poisson, l'hypothese standard d'une donnee initiale d'energie cinetique finie (v#2f#o(x,v) dxdv < ) peut etre remplacee par une hypothese de moments dans la variable d'espace (|x|#mf#o(x,v)dxdv < ). Cette derniere permet d'exhiber un effet regularisant pour tout temps t > o, plus fort que les inegalites de strichartz, et egalement lie a la dispersion par le terme de vlasov. Le quatrieme chapitre est une generalisation de ce resultat au cas de l'equation de vlasov-poisson-fokker-planck. Dans ce cas, la dispersion par le terme de vlasov, et la diffusion par le laplacien en vitesse du terme de fokker-planck, additionnent leurs effets, et permettent d'obtenir des regularisations beaucoup plus fortes. Enfin, nous montrons dans le cinquieme chapitre un resultat partiel de passage a la limite de l'equation de schrodinger vers l'equation de boltzmann des semi-conducteurs.

Titre traduit

Dispersive effects for the vlasov and schrodinger equations

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