Resolution de grands systemes lineaires sur machines massivement paralleles

par Xavier Juvigny

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Olivier Pironneau.

Soutenue en 1997

à Paris 6 .

mots clés

Résumé

La premiere partie du memoire etudie la resolution des systemes lineaires par methodes directes. Apres un rappel de la methode de renumerotation par dissection emboitee, une parallelisation de la factorisation de gauss sur l'interface, inherente a cette methode est proposee. Une etude de la complexite algorithmique en fonction de la renumerotation des sous-domaines, permet de deduire un algorithme de factorisation par bloc avantageux ainsi qu'une renumerotation des sous-domaines permettant de reduire le nombre d'operations requis. Une etude du comportement numerique permet d'etablir une relation entre reduction cyclique et dissection emboitee. Des resultats numeriques montrent le comportement de l'algorithme. Le deuxieme chapitre porte sur les methodes iteratives pour des systemes lineaires non symetriques. On rappelle l'algorithme gmres, du bicgstab et la methode spai, proposee par grotte et huckle. Une etude de l'equilibre des charges et un exemple montrant l'interet de coupler ce preconditionneur avec un preconditionneur diagonal permet d'ameliorer le conditionnement. Le preconditionneur est teste sur des problemes industriels, puis etendu au cas complexe. Une version simplifiee du preconditionneur, le graphe de la matrice de preconditionneur y est fixe, permet de construire des preconditionneurs adaptes aux methodes par decomposition de domaine utilisant une formulation duale. L'introduction d'un parametre permet d'ameliorer un preconditionneur propose par kutnetsov. Un preconditionneur utilisant une approximation de la factorisation de gauss est presente comme une amelioration d'un preconditionneur forme a partir du probleme dual. Quelques tests numeriques valident ces preconditionneurs. Le chapitre trois presente le principe de conception objet et son apport dans le calcul scientifique. Une bibliotheque orientee objet d'algebre lineaire est etudiee en introduisant des modules issus d'autres langages, mieux adaptes a la vitesse performance du code. Une methode permettant l'ajout de nouveaux types de matrices, de vecteurs, de nouvelles fonctionnalites est introduite.

Titre traduit

Solving huge linear systems on massive parallel computers

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