Analyse harmonique des formes différentielles sur l'espace hyperbolique réel

par Emmanuel Pedon

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Jean-Philippe Anker.

Soutenue en 1997

à Nancy 1 , en partenariat avec Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques (autre partenaire) .

mots clés

• Transformations (mathématiques)
• Équation de la chaleur
• Formes différentielles
• Riemann, Variétés de
• Laplacien
• Opérateurs différentiels
• Espaces hyperboliques
• Espaces symétriques
• Fibrés vectoriels
• Fonctions sphériques

Résumé

Nous développons dans ce mémoire l'analyse harmonique L2 des p-formes différentielles (0 ≤ p ≤n) sur l'espace hyperbolique réel Hn(R) ≈ SOe(n,1)/ SO(n). Les notions et résultats classiques de l'analyse harmonique des fonctions (i. E. Des formes de degré zéro) sur Hn(R) sont ainsi généralisés. Les principaux outils employés sont la théorie des représentations des groupes de Lie semi-simples et la théorie des fonctions de Jacobi. Nous étudions notamment : la transformation de Poisson ; les fonctions sphériques (généralisées) ; la transformation de Fourier sphérique ; la transformation de Fourier ; la transformation d'Abel. Nous obtenons comme corollaires l'expression explicite du noyau de la chaleur et un nouveau calcul des invariants de Novikov-Shubin. Deux appendices sont consacrés à des résultats plus généraux : l'Appendice A décrit de manière élémentaire les séries discrètes intervenant dans la décomposition de l'espace des formes différentielles L2 sur un espace symétrique riemannien de type non compact général ; l'Appendice B introduit et développe la notion de « triplet de Gelfand», qui généralise à un cadre vectoriel la notion de paire de Gelfand, et permet l'étude des fonctions sphériques associées à un fibré homogène sur un espace symétrique riemannien de type non compact général.

Titre traduit

Harmonic analysis for differential forms on real hyperbolic spaces

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