Courbes de petit genre tracees sur la surface de kummer associee au produit de deux courbes de genre un

par NATHALIE MAIER

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Philippe Satgé.

Soutenue en 1997

à Caen .

mots clés

Résumé

Soit k un corps parfait de caracteristique differente de deux. On s'interesse a l'equation diophantienne (*) : p#2(t)y#2 = p#1(x) ou p#1 et p#2 sont deux polynomes de degre quatre a coefficients dans k. Il est facile de construire un k-modele propre et lisse de l'hypersurface de a#3#k d'equation p#2(t)y#2 = p#1(x) qui est la surface de kummer associees au produit des deux courbes k-modeles propres et lisses de la courbe affine d'equations respectives z#2 = p#1(x) et s#2 = p#2(t). La partie principale de la these est la construction de k-courbes de petit genre (ici, zero et un) sur cette surface de kummer. La construction de k-courbes de genre zero est un premier pas dans la construction de courbes k-rationnelles (id est k-birationnellement equivalente a la droite projective sur k) sur la surface de kummer, autrement dit dans la resolution de l'equation diophantienne (*) sur le corps des fractions rationnelles en une variable sur k. Comme la surface de kummer est une surface k3, chaque k-courbe de genre un sur celle-ci definit une k-fibration en courbes de genre un sur la droite projective. Nous donnons plusieurs exemples de k-courbes de genre un dont la k-fibration associee ne possede aucune k-sections (ou k designe une cloture algebrique de k) et nous utilisons les courbes k-rationnelles construites precedement pour produire des points k-rationnels sur des familles de k-fibres de ces fibrations.

Titre traduit

Curves of small genus over the kummer surface associed to the product of two curves of genus one

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