Theorie spectrale et optimisation de forme

par Thierry Chatelain

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Antoine Henrot.

Soutenue en 1997

à Besançon .

mots clés

Résumé

Ce travail s'articule autour de deux problemes d'optimisation de forme lies a l'etude de valeurs propres de l'operateur de laplace et de l'operateur de schrodinger sur un ouvert borne. Les deuxiemes et quatriemes chapitres sont dedies aux outils necessaires pour traiter les problemes d'optimisation de forme. Dans le deuxieme chapitre, nous etudions la differentiabilite des valeurs propres d'une famille d'operateurs dependant du domaine. Le quatrieme chapitre traite des outils capacitaires et donne des resultats concernant les quasi ouverts. Le premier probleme, traite dans le troisieme chapitre, est en rapport avec le celebre probleme de pompeiu datant de 1929. Nous nous interessons a une formulation equivalente, qui est une conjecture de m. Schiffer en theorie spectrale : la boule est-elle le seul domaine borne simplement connexe tel que le probleme spectral surdetermine du laplacien dirichlet avec condition supplementaire au bord de type neumann admette une solution ? nous ramenons ce probleme a l'etude des points critiques de la fonctionnelle valeur propre sous une contrainte de volume. En utilisant la symetrisation de steiner, nous repondons a la question pour la premiere valeur propre, et nous reformulons le probleme en terme d'identite integrale faisant intervenir le noyau de bergman. Le deuxieme probleme, traite dans le cinquieme chapitre, est issu d'un travail de w. Arendt et c. Batty sur des proprietes de la borne spectrale d'une famille d'operateurs de schrodinger. Nous etudions un probleme de maximisation concernant la premiere valeur propre d'un operateur de schrodinger a potentiel defini sur un ouvert borne, avec une contrainte sur la premiere valeur propre du laplacien dirichlet defini sur ce meme ouvert. Nous donnons un resultat d'existence du maximum dans un cadre confine et montrons que la boule est maximum local. Nous montrons la coercivite en espace de la fonctionnelle etudiee, dans le cas ou les ouverts consideres sont convexes, et nous comparons numeriquement les valeurs de cette fonctionnelle pour les couronnes.

Titre traduit

Spectral theory and shape optimization

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