Contribution à l'étude des opérateurs de Schrödinger discrets

par Claire Guille-Biel

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Pierre Liardet.

Soutenue en 1997

à Aix-Marseille 1 .

mots clés

• Sciences et techniques communes
• Généralités Physique
• Opérateur mathématique
• Opérateur Schrödinger
• Opérateur stochastique
• Théorie spectrale
• Spectre discret
• Densité état
• Potentiel interaction
• Potentiel périodique
• Mathematical operator
• Schrödinger operator
• Stochastic operator
• Spectral theory
• Discrete spectrum
• Density of states
• Interaction potential
• Periodic potential
• Opérateurs aléatoires
• Schrödinger, Opérateur de
• Théorie spectrale (mathématiques)
• Suites spectrales (mathématiques)

Résumé

Ce mémoire s'inscrit dans le contexte général des opérateurs aléatoires discrets unidimensionnels. Dans ce cadre (chapitre 1), nous dégageons des éléments remarquables du système dynamique conduisant à des opérateurs ayant le même spectre. D'autre part, les principales propriétés spectrales des des opérateurs de Schrödinger sont décrites. En particulier la densité intégrée d'états est explicitement donnée pour un opérateur à potentiel périodique. Dans le chapitre 2, nous introduisons à partir du 2-odomètre, un nouveau potentiel, dit odométrique, qui est limite périodique et de type Gordon. Une approximation de la mesure de Lebesgue du spectre de tous ces opérateurs est obtenue. Enfin le chapitre 3 est consacré à l'étude des propriétés spectrales d'une nouvelle famille d'opérateurs, les opérateurs creux, définis par Hp = Sp + S-p + V (où S désigne l'opérateur décalage sur l2(Z), p un entier non nul, et V un potentiel). Dans certains cas particuliers, nous montrons que la nature du spectre de presque tous ces opérateurs ne dépend pas de p. Nous donnons des applications lorsque le potentiel est périodique, aléatoire, puis substitutif.

Titre traduit

A contribution to the study of discrete Schrödinger operators

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