Méthodes d'éléments finis raffinés pour quelques problèmes aux limites dans des domaines non-réguliers

par Hassan El Bouzid

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Serge Nicaise.

Soutenue en 1996

à Valenciennes .

mots clés

• Méthode élement fini
• Méthode numérique
• Méthode raffinement
• Convergence numérique
• Singularité
• Polyèdre
• Opérateur Laplace
• Plaque
• Polygone
• Problème valeur limite
• Finite element method
• Numerical method
• Refinement method
• Numerical convergence
• Singularity
• Polyhedron
• Laplace operator
• Plate
• Polygon
• Boundary value problem

Résumé

Dans ce travail, nous proposons différentes méthodes d'éléments finis raffines pour deux types de problèmes: le premier concerne des problèmes aux limites dans des polygones et le second le système de Stokes dans des polygones ou des polyèdres. Les solutions de ces problèmes présentent des singularités, en conséquence, l'utilisation d'une méthode d'éléments finis classique n'aboutit pas à un ordre optimal de convergence. En dimension 2, la forme explicite de ces singularités permet d'adopter certaines stratégies de façon à restaurer l'ordre optimal de convergence ; parmi celles-ci, citons la méthode de raffinement de maillage, la méthode d'adjonction de singularités et la méthode des fonctions singulières duales. En dimension 3, la structure des singularités étant plus complexe, seule la méthode de raffinement de maillage est actuellement applicable pour des domaines polyèdraux généraux. Pour le premier type de problèmes, les méthodes utilisées jusqu'à présent sont en général conformes, ce qui, dans le cas du problème des plaques, induit un cout de résolution assez important. Pour minimiser ce cout, nous proposons ici d'utiliser la méthode d'éléments finis non conformes raffinés. Sont étudiés notamment dans cette thèse: le problème de Dirichlet pour l'operateur de Laplace et l'équation des plaques encastrées. Pour le second, nous analysons une méthode d'éléments finis mixtes raffinés (conformes et non conformes) afin d'approcher la solution du système de Stokes. Les majorations d'erreurs optimales du cas des domaines reguliers sont démontrées pour les deux types de problèmes considérés.

Titre traduit

Refined finite element methods for some boundary value problems in non-smooth domains

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