Etude mathématique et résolution numérique de l'équation de Fokker-Planck-Landau en physique des plasmas

par Mohammed Lemou

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Pierre Degond.

Soutenue en 1996

à Toulouse 3 .

mots clés

• Physique
• Hydrodynamique -- Modèles mathématiques
• Gaz, Dynamique des -- Mathématiques
• Plasmas, Électrodynamique des
• Fokker-Planck, Équation de

Résumé

L'equation de fokker-planck est un modele cinetique collisionnel communement utilise pour modeliser les plasmas chauds. Ce modele est decrit par une equation d'evolution cinetique comportant un second membre quadratique appele facteur de collision. Cet operateur de collision de fokker-planck derive de l'operateur de collision de boltzmann lorsque les integrales divergentes dues au potentiel coulombien sont remplacees par leur partie principale. Il est constitue d'un operateur de diffusion non-lineaire par rapport a la variable de vitesse, dont la non-linearite apparait a travers la dependance non locale des coefficients de diffusion par rapport a la fonction de distribution. Dans cette these, deux aspects importants de ce probleme ont ete etudies: l'analyse mathematique et l'etude numerique. Nous avons regarde, en particulier, le probleme de l'existence de solutions pour cette equation, leur limite hydrodynamique et leur comportement en temps grand. Dans l'esprit des travaux deja effectues pour l'equation de boltzmann, cette etude passe par une analyse spectrale precise de l'operateur linearise. Une analyse spectrale detaillee de l'operateur de fokker-planck-landau linearise a ete realisee dans cette these. Dans un cadre plus simple correspondant dans un certain sens aux molecules maxwelliennes, des solutions explicites ont ete exhibees, faisant ainsi suite aux travaux equivalents de bobylev, krook et wu pour l'equation de boltzmann. Sur le plan numerique, nous avons developpe des schemas conservatifs et a entropie decroissante, restant ainsi tres proches des exigences de la physique. Toujours sur le plan numerique, des methodes rapides visant a reduire la complexite du probleme initialement quadratique par rapport a la variable de vitesse en une complexite lineaire, ont ete mises en uvre. Ces methodes utilisent soit des algorithmes multigrilles combines avec des methodes d'integration aleatoires, soit des developpements multipolaires inspires des travaux de greengard et rocklin. Des tests numeriques illustrant l'efficacite de ces algorithmes ont ete effectues dans cette these. Une partie de ce travail numerique a ete effectuee dans le cadre d'un contrat entre le laboratoire mip (mathematiques pour l'industrie et la physique, toulouse) et le cea de limeil

Titre traduit

Mathematical analysis and numerical approximations of the fokker-planck-landau equation in plasma physics

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