C*-algèbres des quasi-représentations d'un groupe discret et quasicristaux

par Edouard Contensou

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de A. Legrand.

Soutenue en 1996

à Toulouse 3 .

mots clés

• Sciences et techniques communes
• Groupes discrets
• Quasicristaux
• Représentations de groupes
• C*-algèbres

Résumé

Dans ce travail nous etudions la c*-algebre enveloppante d'une quasi-representation d'un groupe discret. C'est l'algebre engendree par les operateurs de translation obtenus par compression de la representation reguliere du groupe sur un sous-ensemble arbitraire de ce groupe. Ces operateurs sont des isometries partielles. Lorsque le groupe est de type fini, notre premier resultat donne une condition suffisante entre un systeme de generateurs du groupe et le sous-ensemble pour que les operateurs associes a ce systeme engendrent l'algebre. La combinatoire sous-jacente porte sur les notions de voisin et de configuration. Notre deuxieme resultat montre que pour une partie quelconque d'un groupe discret, l'algebre est isomorphe a l'algebre reduite d'un groupoide comme definie par jean renault. Ce resultat etait connu pour les operateurs de wiener-hopf, pour qui le sous-ensemble est un semi-groupe. Le groupoide est r-discret et de base totalement discontinue ; si le groupe est de type fini, la base du groupoide est limite d'un systeme projectif decrit par les configurations. Ce travail est inspire de l'algebre des operateurs de translation associee par jean bellissard a un quasicristal construit par la methode de la bande. Nous exhibons le systeme de generateurs de l'algebre d'un quasicristal unidimensionnel et montrons qu'elle est un produit croise d'une algebre de fonctions discontinues sur le cercle. Le calcul de sa k-theorie montre que ce n'est pas une algebre approximativement finie, comme on aurait pu l'esperer

Titre traduit

C*-algebras of quasi-representations of a discrete group and quasi-crystals

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