Contribution à l'étude des codes correcteurs d'erreurs

par Emmanuelle Delpeyroux

Thèse de doctorat en Informatique fondamentale

Sous la direction de Alain Poli.

Soutenue en 1996

à Toulouse 3 .

mots clés

• Codes correcteurs d'erreurs (théorie de l'information)
• Algèbres commutatives
• Gröbner, Bases de

Résumé

Le cadre general concerne les corps finis, l'algebre commutative, et les applications aux codes correcteurs d'erreurs. Trois themes principaux sont developpes: les codes concatenes, les bases de grobner, et les bases normales orthonormees. Le choix d'un code correcteur est difficile et necessite des connaissances theoriques. Certaines applications actuelles, comme la transmission de la parole ou des images, demandent des codes puissants. Parmi ceux-ci se trouvent les codes concatenes. L'etude du modele algebrique de ces codes permet de considerer la concatenation de codes cycliques comme la definition d'un ideal dans une algebre abelienne. Une generalisation, aux codes abeliens modulaires, des travaux de j. M. Jensen est proposee. Concernant les bases de grobner, elles ont ete developpees par b. Buchberger. Elles trouvent une application dans le codage et le decodage des codes cycliques, et sont utilisees pour le codage systematique. Il est demontre que la matrice generatrice sous forme systematique d'un code abelien est l'unique matrice echelons reduite de ce code. Ce resultat et les proprietes de cette matrice permettent de calculer directement la base de grobner reduite et normalisee du code. Dans le cas ou le code est un code concatene abelien et semi-simple cette matrice peut etre obtenue en concatenant les matrices generatrices sous forme systematique du code interne et du code externe. Enfin, pour developper des circuits electroniques plus economiques lorsque des codes correcteurs sont utilises, de nombreux chercheurs ont etudie et construit des bases particulieres des corps finis comme les bases normales et les bases normales trace-orthonormees. Une synthese des differents resultats existants dans ce domaine, ainsi que des ameliorations de ces resultats et des demonstrations alternatives, sont proposees. Le cas plus general d'une extension abelienne, de degre fini, sur un corps commutatif est rappele

Titre traduit

Contribution to the study of error-correcting codes

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