Constantes dans les inégalités de Sobolev et fonctions extrémales
par Eric Fontenas
Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées
Sous la direction de Michel Ledoux.
Soutenue en 1996
à Toulouse 3 .
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Résumé
Dans le premier chapitre de cette these, nous nous interessons a l'optimisation des constantes dans les inegalites de sobolev des varietes riemanniennes compactes et plus generalement celles associees a un generateur markovien abstrait. Nous developpons dans ce cadre une methode introduite par rothaus dans l'etude de la minoration de la constante de sobolev logarithmique. Elle se base sur l'inegalite de courbure dimension introduite par bakry-emery et sur l'existence de fonctions extremales. Les estimations des constantes de sobolev obtenues sont fonction de la courbure, de la dimension et du trou spectral. Elles permettent de retrouver ou d'ameliorer de nombreux resultats deja connus. Dans le deuxieme chapitre, nous considerons une famille particuliere d'operateurs definis sur des intervalles reels qui regroupe la plupart des exemples de generateurs associes a des familles de polynomes orthogonaux. Nous donnons, tout d'abord, un developpement en serie de la variance pour cette famille d'operateurs. Puis, en utilisant seulement une equation non lineaire, nous etudions les constantes de sobolev et de sobolev logarithmiques associees a cette famille d'operateurs. Finalement, dans le cas ou ces constantes sont optimales, l'existence d'equations non lineaires associees aux inegalites de sobolev, de sobolev logarithmiques et d'onofri, nous permet d'obtenir explicitement les fonctions extremales liees a ces inegalites
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Titre traduit
Constants in sobolev inequalities and extremal functions
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