Ondelettes et opérateurs de Calderón-Zygmund

Wavelets and Calderón-Zygmund operators

• Auteur / Autrice : Fatma Trigui
• Direction : Yves Meyer
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Hilbert

Ondelettes

Spectroscopie

Résumé

La première partie de cette thèse concerne la classe d'opérateurs T de Calderón-Zygmund dont le noyau de distribution S(x,y), une fois restreint au complémentaire de la diagonale, est une fonction K(x,y) qui vérifie ainsi que ses deux dérivées partielles, les estimations standards de décroissance d'un noyau de Calderón-Zygmund. Le premier résultat fournit une condition nécessaire et suffisante permettant d'évaluer la décroissance rapide des coefficients d'ondelettes de l'opérateur considéré dans une base d'ondelettes régulières et à support compact. Les hypothèses de régularité du noyau de ce résultat sont examinées et par la suite affaiblies. En effet, en conservant évidemment cette condition nécessaire et suffisante, on montre qu'il suffit d'imposer au noyau K(x,y) une régularité définie dans la classe de Zygmund pour récupérer l'estimation sur les coefficients d'ondelettes de l'opérateur. Le second résultat prouve qu'en combinant la représentation standard et la représentation non standard de l'opérateur, on peut récupérer les estimations de régularité du noyau K(x,y) dans la classe de Zygmund. Une généralisation de ce résultat au cas complexe est ensuite présentée. La seconde partie est consacrée à l'étude des coefficients d'ondelettes des représentations standard et non standard de l'opérateur transformée de Hilbert H. L'originalité de cette étude est que l'obstacle n'est pas la régularité du noyau mais celle des ondelettes. Nous utilisons en l'occurrence la première ondelette d'I. Daubechies de régularité 0. 55 et supportée par l'intervalle 0,3. En exploitant l'autosimilarité de l'ondelette dans certains voisinages, une preuve du comportement non uniforme et irrégulier des coefficients d'ondelettes de la représentation standard de H est présentée. Nous énonçons enfin un résultat reliant l’appartenance de l'ondelette aux espaces deux-micro locaux à une estimation décrivant ce comportement