Geometries de zariski et groupes de zariski

par Markus Junker

Thèse de doctorat en Mathématiques. Logique et fondements de l'informatique

Sous la direction de Daniel Lascar.

Soutenue en 1996

à Paris 7 .

mots clés

• Algebraic variety

Résumé

Les geometries de zariski ont ete introduites par hrushovski et zil'ber comme modeles abstraits de courbes algebriques pour disposer d'une classe de structures qui satisfasse a la trichotomie de zil'ber. Dans cette these, des geometries de zariski de dimension superieure sont definies et systematiquement etudiees. Une geometrie de zariski est donnee par une famille de topologies noetheriennes telle que la dimension topologique verifie certaines proprietes de la dimension en geometrie algebrique et telle que les proprietes importantes passent aux extensions elementaires. Les geometries de zariski sont alors des structures omega-stables ou les proprietes topologiques et modele-theoriques sont fortement liees. Les varietes algebriques sur un corps algebriquement clos sont les exemples les plus importants. Le point essentiel pour une description structurelle des geometries de zariski est l'etude du comportement des topologies sur les ensembles d'imaginaires. Cette analyse mene a une definition de variete au-dessus d'une geometrie de zariski. Les types de varietes les plus importantes, les varietes lisses et les varietes completes, sont etudies a part. Un groupe de zariski est une variete avec une structure de groupe donnee par des morphismes. Comme application des techniques developpees, un theoreme de structure pour les groupes de zariski est demontre, a savoir que tout groupe de zariski simple et lisse interprete un corps algebriquement clos. Ce resultat prouve la moitie de la conjecture de cherlin pour les groupes de zariski lisses et fournit presque une caracterisation abstraite des groupes algebriques simples

Titre traduit

Zariski geometries and zariski groups

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