Quatre equations d'evolution non-lineaires : probleme de cauchy, proprietes globales des solutions

par Yvan Martel

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Thierry Cazenave.

Soutenue en 1996

à Paris 6 .

mots clés

Résumé

Les chapitres 1 et 2 sont consacres au probleme de cauchy pour deux equations d'evolution originales: l'equation de sine-gordon incluant une distribution de dirac et une equation d'airy complexe avec une non-linearite cubique. Nous decrivons rapidement l'interet physique de ces problemes et nous completons la resolution du probleme de cauchy par quelques proprietes supplementaires. Le chapitre 3 revient sur l'explosion des solutions a energie negative pour l'equation de schrodinger non-lineaire. Des travaux precedents ont prouve l'explosion sous une condition de poids, ainsi que pour les solutions a symetrie radiale. Nous montrons ici que ces conditions peuvent etre melees ou affaiblies dans le cas de non-linearites sur critiques. Enfin, le chapitre 4, qui constitue la partie la plus importante de cette these, concerne l'equation de la chaleur avec non-linearite convexe, croissante. Un premier article eclaircit les relations entre l'existence de solutions globales pour l'equation de la chaleur non-lineaire et l'existence d'une solution faible pour le probleme stationnaire associe. Ces resultats ont ete obtenus en collaboration avec h. Brezis, t. Cazenave et a. Ramiandrisoa. Ensuite, nous generalisons les resultats connus sur le phenomene d'explosion en temps infini pour les solutions croissantes. Des proprietes similaires sont demontrees pour une notion d'explosion totale en temps infini que nous introduisons. Finalement, nous appliquons ces resultats a une description affinee du comportement global des solutions de l'equation de la chaleur non-lineaire

Titre traduit

Four nonlinear evolution equations: cauchy problem, global behaviour of solutions

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