Mathematical modelling of the glucose-insulin system

• Auteur / Autrice : Andrea de Gaetano
• Direction : Ovide Arino
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Pau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Glucose sanguin

Modèles mathématiques

Effets physiologiques

Insuline

Résumé

La modélisation de l'interaction entre le glucose dans le sang et l'hormone insuline a été un problème récurrent en biomathématiques. On sait que le glucose stimule la sécrétion d'insuline par le pancréas, qui de son côté inhibe la production de glucose par le foie et stimule la capture du glucose par les tissus. Ce travail donne un rappel de la physiologie du métabolisme du glucose et de la synthèse et de la sécrétion de l'insuline. Sont ensuite résumés les modèles les plus connus proposés dans la littérature : un de ces modèles, le modèle minimal dû à Bergman et Cobelli, est décrit en détail. Le modèle minimal, proposé au début des années 80, est pour le moment le modèle standard pour l'interprétation de l'IVGTT (Intra Venous Glucose Tolerance Test), pendant lequel on administre un bolus intraveineus de glucose qui accroît de manière aiguë le taux de glucose dans le sang, lequel à son tour stimule la sécrétion d'insuline par le pancréas. Les niveaux de glucose et d'insuline dans le sang sont mesurés à des intervalles fréquents pendant trois heures. Ces données sont utilisées pour l'estimation des paramètres du modèle en deux passages indépendants : premièrement en considérant l'insuline comme connue et ajustant la courbe de glucose, deuxièmement en considérant le glucose et ajustant la courbe d'insuline. L'usage d'une procédure dissociée comme celle-là est discuté et l'on a la nécessité d'avoir un modèle dynamique qui puisse ajuster simultanément les deux courbes liées par contre-réaction. On présente une analyse mathématique détaillée du modèle obtenue par couplage de toutes les équations du modèle minimal, en démontrant que le modèle dynamique ainsi obtenu possède un comportement qualitatif indésirable pour des valeurs raisonnable des paramètres (qui ont été publiées, en effet, par les auteurs proposant le modèle minimal original). Suite aux difficultés décrites, un modèle alternatif est proposé, sous la forme d'un système non-linéaire d'équations différentielles à retard. Le système est étudié et l'on montre qu'il présente une stabilité asymptotique globale, avec convergence vers l'état d'équilibre physiologiquement attendu. Pour prouver l'existence et l'unicité des solutions du système, on établit des résultats qui généralisent les théorèmes existants aux problèmes différentiels à retard avec des conditions initiales discontinues. Le logiciel original développe pour l'ajustement (quasi-newton moindres carrés) du système est décrit et applique aux IVGTT conduit sur un échantillon de volontaires. On démontre que le modèle est ainsi identifiable sur les données disponibles. Dans le cadre du travail sur la stabilité, une nouvelle méthode pour l'évaluation statistique (basée sur les données) de la stabilité d'un modèle propose pour un échantillon ou un sujet expérimental est développée, qui est applicable à des situations plus générales où la démonstration analytique de la stabilité n'est pas possible pour toutes les valeurs des paramètres.