Asymptotique spectrale pour le systeme de l'elasticite

par Lotfi Kazoula

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes. Physique

Sous la direction de Alain Grigis.

Soutenue en 1995

à Paris 11 .

mots clés

Résumé

Nous etudions dans ce travail le systeme de l'elasticite dans un domaine planaire borne convexe a bord regulier, avec conditions aux limites de dirichlet ou de neumann. Ces deux problemes sont elliptiques et leurs spectres sont constitues de suites de valeurs propres tendant vers l'infini. Le but de ce travail est l'etude du comportement asymptotique a l'infini des fonctions de comptage associees. L'etude de la fonction de comptage des valeurs propres pour des operateurs elliptiques a fait l'objet de nombreux travaux depuis weyl qui a donne le premier terme du developpement. Dans le cas de l'operateur de laplace-beltrami sur une variete compacte a bord regulier avec des conditions aux limites de dirichlet ou de neumann, ivrii a montre l'existence d'un second terme dans le developpement asymptotique de la fonction de comptage sous l'hypothese que l'ensemble des trajectoires periodiques du billard geodesique soit de mesure nulle. Vassilev a generalise ce resultat a des problemes aux limites d'ordre superieur, et a introduit avec saffarov la notion de billard branche qui permet de rendre compte du fait que les trajectoires peuvent se reflechir de plusieurs manieres en touchant le bord. Ici nous rencontrons le meme phenomene car le systeme de l'elasticite a deux vitesses de propagation des ondes. Nous classons les trajectoires periodiques en differents types suivant la nature des reflexions successives sur le bord, et pour un ouvert a bord reel analytique nous montrons que deux sous-ensembles de trajectoires periodiques sont de mesure nulle. Enfin nous demontrons un theoreme analogue a celui de vassilev, ou l'operateur d'ordre superieur a deux est remplace par un systeme d'ordre deux. Nous donnons des formules explicites du coefficient du second terme asymptotique dans les deux cas de conditions aux limites. Dans le cas de la condition de neumann, ce coefficient est relie a la vitesse de propagation de l'onde de rayleigh sur le bord

Titre traduit

Spectral asymptotics for elasticity system

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