Courbures riemanniennes dans le problème plan des trois corps : application à l'étude de la stabilité

par Mihail Barbosu

Thèse de doctorat en Astronomie fondamentale, mécanique céleste et géodésie

Sous la direction de Badaoui Elmabsout.

Soutenue en 1995

à Observatoire de Paris (1667-....) .

Le jury était composé de Badaoui Elmabsout, Claude Lamoureux, Charles-Michel Marle, Jean-Louis Sagnier.

Les rapporteurs étaient Claude Lamoureux.

mots clés

• Géométrie de Riemann
• Problème à trois corps

Résumé

Nous nous sommes intéressés à la théorie géométrique des systèmes dynamiques conservatifs. Pour toute valeur fixée, H, de la constante de l'énergie, les trajectoires d'un tel système dynamique sont des géodésiques de l'espace des configurations, muni de la métrique riemannienne de Maupertuis. Dans l'espace des phases, muni de la métrique de Sasaki, chaque géodésique est le relèvement d'une géodésique de l'espace des configurations. Nous avons développé une méthode pour étudier la courbure de l'espace des configurations et de l'espace des phases, en utilisant le logiciel de calcul formel Macsyma. Nous avons appliqué cette méthode dans le problème plan des trois corps pour déterminer les tenseurs de courbure et les courbures riemanniennes de l'espace des configurations ainsi que les composantes de la métrique de Sasaki dans l'espace des phases. Une discussion sur le signe des courbures riemanniennes et sur le tenseur de Ricci conduit à des conclusions concernant la stabilité des trajectoires de certaines configurations particulières. Nous avons montré ainsi, entre autres, que : dans le cas planétaire les courbures riemanniennes s'annulent si et seulement si la configuration est isocèle et que le tenseur de Ricci est négatif sous certaines conditions ; dans le cas du triangle équilatéral, même si le mouvement est homographique, nous avons trouvé des conditions dans lesquelles les courbures riemanniennes sont négatives. Dans le cas rectiligne, les courbures ne gardent pas un signe constant. Dans chacun de ces cas, nous avons déduit des résultats concernant la stabilité des configurations étudiées. Pour la plupart des calculs et des graphiques nous avons utilisé les logiciels de calcul formel Mathematica et Macsyma.

Titre traduit

Riemannian curvatures in the planar three body problem : application in the study of the stability

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