Methodes d'inversion de la transformation de poisson

par FRAIDOUN SULTANI

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de LANTERI.

Soutenue en 1995

à Nice .

mots clés

Résumé

La transformation de poisson intervient en optique statistique lorsque la mesure s'effectue en comptage de photons. Elle se presente sous forme d'une equation integrale dont le noyau d'integration est la loi de poisson. C'est une transformation qui appliquee a la densite de probabilite d'une structure aleatoire a fort flux p() donne la repartition du nombre de photons detectes p(n). Le sujet de cette these est l'etude de differentes methodes d'inversion de cette transformation. En d'autres termes, nous cherchons a determiner p() a partir de sa transformee de poisson p(n) entachee d'erreurs. La premiere partie de ce travail est consacree a l'etude de l'inversion algebrique de cette transformation. Elle consiste a ecrire l'equation integrale sous la forme p = hp, ou p represente la mesure, p les parametres a estimer et h l'operateur matriciel de la transformation. Nous nous proposons de resoudre cette equation dans le cas ou la vraisemblance de p suit la statistique gaussienne ou poissonnienne. En absence de toute contrainte la solution du maximum de vraisemblance n'est pas stable a cause du caractere mal pose du probleme inverse etudie. Nous introduisons alors une contrainte de douceur basee sur la methode de tichonov ou sur l'entropie structurelle de la solution, en proposant un certain nombre d'algorithmes de minimisation a une et a deux dimensions. Nous montrons dans ce travail qu'une vraisemblance de statistique poissonnienne associee a une contrainte de douceur basee sur l'entropie de la solution, conduit a une meilleure solution que celle de statistique gaussienne. Cette consideration prend d'autant plus d'importance que le nombre moyen de photons par pixel est plus faible (i. E. Le bruit devient de plus en plus poissonnien). La deuxieme partie de ce travail est consacree a l'etude analytique de la transformation de poisson. Nous montrons d'abord que les methodes d'inversion analytiques classiques qui font appel a des formules sommatoires definies pour une infinite de termes ne conduisent pas a une solution acceptable. La raison de cet echec est due a l'insuffisance des donnees mesurees qui contraint la solution a prendre une forme oscillatoire qui diverge a l'infini. Nous presentons une nouvelle approche de l'inversion basee sur les approximants de pade. En effet la fonction caracteristique a fort flux s'ecrit comme une serie du type taylor qui diverge a l'infini. Nous avons montre que l'application des approximants de pade sur la fonction caracteristique permet une parfaite inversion et donne a la methode un gain en convergence et une grande stabilite. Un probleme crucial lors de l'utilisation des approximants de pade est le choix du meilleur approximant. Le meilleur approximant de pade, pour ce qui concerne notre probleme, est choisi par des contraintes physiques, en tenant compte de la consistance avec les donnees mesurees. Des etudes sur plusieurs modeles ont montre la robustesse de cette nouvelle methode d'inversion vis a vis du bruit et ont prouve que cette approche conduit a une parfaite inversion dans le cas a une et deux dimensions

Titre traduit

Techniques to invert poisson transform

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