Algorithmique des reseaux et des systemes diophantiens lineaires

par Catherine Moulinet-Ossola

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de A. GALLIGO.

Soutenue en 1995

à Nice .

mots clés

• Sciences et techniques communes
• Mathematiques
• Algorithme
• Arithmetique
• Base grobner
• Systeme equation
• Systeme lineaire
• Equation diophantienne
• Algorithms
• Arithmetics
• Grobner basis
• Equation system
• Linear system
• Diophantine equation

Résumé

Nous presenterons dans ce memoire une application des calculs de bases de grobner a la resolution des systemes diophantiens lineaires, ainsi qu'a la recherche de vecteurs de normes minimales dans des reseaux arithmetiques entiers. L'algorithme de calcul de bases de grobner que nous avons etudie s'applique a des ideaux binomiaux et nous montrerons les ameliorations que nous avons pu apporter, notamment sur la strategie de selection des paires critiques utiles. Nous detaillerons les algorithmes de resolution que nous avons alors implantes afin de les confronter a d'autres programmes. Ainsi, nous presenterons des comparaisons experimentales de nos programmes de resolution de systemes diophantiens avec les programmes de domenjoud et egalement contejean et devie. Nous presenterons l'algorithme lll de reduction de reseau arithmetique, ainsi que l'algorithme de r. Kannan effectuant la recherche d'un vecteur de norme euclidienne minimale dans un reseau. Nous presenterons alors certains resultats experimentaux afin de confronter les implantations que nous avons realisees de ces algorithmes et de ceux reposant sur les calculs de bases de grobner afin de mieux cerner les defauts de chacun en fonction de certaines caracteristiques des reseaux etudies. Nous presenterons enfin une etude realisee sur un type de reseaux particuliers, appeles les reseaux de craig. Ce sont des reseaux dependant de deux parametres entiers et nous montrerons comment la recherche, par l'utilisation de nos programmes, d'un vecteur de norme euclidienne minimale nous a permis d'exhiber certains resultats mathematiques. Nous montrerons que lorsque le premier entier est fixe, la norme euclidienne minimale peut s'ecrire en fonction du second entier. Nous expliciterons enfin la methodologie que nous avons mise en uvre afin de prouver ces resultats, et fournirons les conjectures et resultats auquels nous avons ainsi abouti

Titre traduit

Algorithmic of integer lattices and linear diophantine systems

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