Transformée de Fourier adaptée et convoluteurs de Schwartz sur les groupes de Lie nilpotents

Adapted Fourier transform and Schwartz multipliers on nilpotent Lie groups

• Auteur / Autrice : Semi Dhieb
• Direction : Jean Ludwig
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Metz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Représentations de groupes

Groupes de Lie nilpotents

Fourier, Transformations de

Résumé

La transformée de Fourier adaptée sur les groupes de Lie nilpotents introduite par D. Arnal et J. C. Cortet, sous le nom de la transformation de Fourier nilpotente constitue une généralisation de la transformée de Fourier abélienne usuelle. Cette définition été limitée aux orbites du groupe sous l'action coadjointe. Nous définissons dans cette thèse de nouvelles transformées de Fourier adaptées sur l'espace dual de l'algèbre de Lie et sur le produit de cet espace dual par l'ensemble des bases de Malcev de l'algèbre de Lie. Ensuite, nous donnons une approche de la démonstration de la conjecture de Howe caractérisant les convoluteurs centraux pour l'espace de Schwartz d'un groupe de Lie nilpotent. Une telle caractérisation est donnée comme suit: une distribution tempérée sur un groupe de Lie nilpotent est un convoluteur central si et seulement si sa transformée de Fourier au sens de distributions est une fonction sur le dual de l'algèbre de Lie, ad*-invariante, infiniment différentiable et à croissance modérée ainsi que toutes ses dérivées. Nous définissons enfin les convoluteurs centraux pour les groupes de Lie variables et nous en donnons une caractérisation analogue à celle citée plus haut

The adapted Fourier transform, so-called nilpotent Fourier transform, was first introduced by D. Arnal and J. C. Cortet as a generalisation of the usual abelian Fourier transform. This definition was limited at the orbits of the group under the coadjont action. We define in this thesis new adapted Fourier transforms on the dual of the Lie algebra and the product of this dual space with the set of all Malcev bases. Then, we study Schwartz multipliers for nilpotent Lie groups and we give an idea to prove Howe conjecture that characterizes the bi-invariant Schwartz multipliers on nilpotent Lie groups. Such characterization is given as the following : a tempered distribution on a nilpotent group Lie is a bi-invariant Schwartz multiplier if and only if its Fourier transform as a distribution is a smooth, Ad*-invariant function on the dual of the Lie algebra and all of its derivatives have polynomial bounds. Finally, we define Schwartz multipliers for variable nilpotent Lie groups and we characterize them as a bove