Quasi-bigèbres jacobiennes et généralisations des groupes de Lie-Poisson

par Momo Bangoura

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Yvette Kosmann-Schwarzbach.

Soutenue en 1995

à Lille 1 .

mots clés

• Jacobiens
• Poisson, Algèbres de
• Lie, Algèbres de

Résumé

Les quasi-bigèbres jacobiennes sont les limites classiques des quasi-algèbres de Hopf introduites par Drinfeld. Plus précisement une quasi-bigèbre jacobienne est la donnée d'une algèbre de Lie (f, ) muni d'un co-crochet qui est un 1-cocycle et d'un élément de #3f qui mesure le défaut d'identité de jacobi du co-crochet ; l'objet global correspondant est un groupe de Lie quasi-Poisson. Les quasi-bigèbres jacobiennes sont des généralisations naturelles des bigèbres de Lie, mais contrairement à la notion de bigèbre de Lie, la notion de quasi-bigèbre jacobienne n'est pas auto-duale. Nous étudions l'objet dual d'une quasi-bigèbre jacobienne appelé quasi-bigèbre co-jacobienne, et la notion plus générale de proto-bigèbre de Lie dont les quasi-bigèbres jacobiennes et leurs duaux, ainsi que les bigèbres de Lie sont des cas particuliers. Nous généralisons la construction du double classique en montrant que le double d'une proto-bigèbre de Lie n'est pas seulement une algèbre de Lie, mais aussi une quasi-bigèbre jacobienne quasitriangulaire. Nous étudions la modification des quasi-bigèbres jacobiennes, qui est une relation d'équivalence, et nous établissons le lien avec les couples de manin. Enfin nous définissons l'objet dual d'un groupe de Lie quasi-Poisson que nous appelons quasi-groupe de Lie-Poisson et nous établissons la correspondance entre les quasi-groupes de Lie-Poisson et les quasi-bigèbres co-jacobiennes. En fait, un quasi-groupe de Lie-Poisson est une boucle de Lie mono-alternative à droite g munie d'une structure de Poisson compatible avec la loi de composition de g et d'un élément de #3t*#eg mesurant dans un certain sens le défaut d'associativité de la loi de composition de g.

Titre traduit

Jacobian quasi-bialgebras and generalizations of Poisson-Lie groups

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