Contribution à l'étude des singularités en géométrie symplectique et pseudo-riemannienne en dimension infinie

par Ioannis Andreadis

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Fernand Pelletier et de Spyros Pnevmatikos.

Soutenue en 1995

à Chambéry .

mots clés

Résumé

On construit une stratification naturelle sur les composantes connexes du fibre banachique des 2-formes antisymetriques (resp. Symetriques) fredholmiennes sur une variete hilbertienne. Les sections transverses a cette stratification sont en consequence classifiees. La donnee d'une telle section transverse aux strates paires (resp. Quelconques) de cette stratification definit une structure symplectique (resp. Pseudo-riemannienne) fredholmienne stratifiee. Ces structures apparaissent generiquement lorsqu'on se restreint a une sousvariete de contraintes de codimension finie paire (resp. Quelconque) dans une variete symplectique (resp. Pseudo-riemannienne) hilbertienne. Dans ce contexte, on etudie les proprietes du lieu critique de la 2-forme (resp. Pseudo-metrique) induite, c. A. D. Sur lequel son noyau n'est pas nul. On prouve que les 1-formes qui possedent un champ dual via le morphisme de dualite associe a la 2-forme (resp. Pseudo-metrique) precedente sont exactement celles qui annulent son noyau en chaque point de la partie lisse de son lieu critique. Ces 1-formes, dites pfaffiennes admissibles, se prolongent differentiablement a des 1-formes sur la variete symplectique (resp. Pseudo-riemannienne) ambiante dont le champ symplectique (resp gradient-pfaffien) est tangent a la sous variete de contraintes. Nous decrivons alors les dynamiques qui sont compatibles avec les contraintes generiques imposees sur une variete symplectique (resp. Pseudo-riemannienne) hilbertienne. Nous montrons que la 2-forme de legendre definie par une metrique pseudo-riemannienne fredholmienne sur une variete hilbertienne n'est pas en general une 2-forme symplectique fredholmienne stratifiee sur le fibre tangent de cette variete. Neanmoins, nous caracterisons l'image de son morphisme de dualite. Enfin, nous etudions des proprietes topologiques des sections de fibres banachiques sur une variete hilbertienne, qui satisfont des conditions de transversalite a une stratification et la genericite de telles sections dans le cadre de la c#1-topologie fine

Titre traduit

Contribution to the study of singularities on symplectic and pseudo-riemannian geometry in infinite dimension

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