Systèmes elliptiques non linéaires conservatifs dans des cylindres infinis

par Jean-René Licois

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Laurent Véron.

Soutenue en 1994

à Tours .

Le président du jury était Catherine Bandle.

Le jury était composé de Victor A. Galaktionov, Piotr T. Chruściel, Ahmad El Soufi.

Les rapporteurs étaient Henri Berestycki.

mots clés

• Équations différentielles elliptiques
• Systèmes non linéaires
• Riemann, Variétés de
• Équations différentielles elliptiques -- Théorie asymptotique
• Opérateurs monotones

Résumé

Etude lorsque t tend vers l'infini, du comportement des solutions d'un problème d'évolution elliptique, conservatif, sur une variété riemannienne compacte. Première partie: perturbation linéaire d'un opérateur monotone (Laplacien associé à une non-linéarité analogue a une puissance). On montre que toute solution positive converge vers une solution du problème stationnaire associé. Pour les solutions de signe quelconque, on dispose, sous certaines conditions, d'un résultat d'homogénéisation asymptotique. Dans tous les cas, le système dynamique associe possède un attracteur maximal forme des solutions globales. Deuxième partie: généralisation aux solutions positives d'un système d'équations aux dérivées partielles elliptiques avec couplage non linéaire. Troisième partie: on considère une perturbation non-linéaire (de type puissance) d'un opérateur linéaire. Nos travaux portent sur la recherche de conditions, portant sur la norme infinie d'une solution, qui impliquent l'homogénéisation des solutions positives. Dans le cas de la sphère s1, on montre, en utilisant une décomposition de Fourier, l'existence de solutions s'homogénéisant autour de n'importe quelle solution homogène. On étudie enfin le problème modifie, en remplaçant une certaine puissance de la solution, par sa moyenne.

Titre traduit

Nonlinear elliptic conservative system in infinite cylinders

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