Estimation de la régularité et de la longue dépendance de processus gaussiens. Applications aux débits hydrologiques
par Gabriel Lang
Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées
Sous la direction de Jean-Marc Azaïs.
Soutenue en 1994
à Toulouse 3 .
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Résumé
Le but de cette these est l'etude de deux caracteristiques de processus gaussiens stationnaires. La premiere caracteristique est la regularite des trajectoires. La deuxieme concerne la memoire a long terme du processus. Le premier chapitre presente des estimateurs nouveaux de ces caracteristiques. Nous proposons l'estimation de l'exposant de holder local, qui mesure la regularite des trajectoires, par une methode qui utilise une generalisation des variations quadratiques du processus. Puis nous definissons une methode d'estimation de la longue dependance fondee sur l'observation du periodogramme empirique dans une fenetre optimisee. Ce chapitre etablit les proprietes asymptotiques des estimateurs proposes et donnent les resultats d'etude de la distribution des differents estimateurs par methode de monte-carlo afin de comparer nos methodes avec les methodes usuelles. Le deuxieme chapitre presente une etude complementaire par simulation des estimateurs de l'exposant de holder. Les estimateurs definis dans le premier chapitre sont notamment compares a la methode classique de dimension de boites. La meme etude est ensuite conduite dans le cadre de modeles de diffusion qui sortent du cadre stationnaire et du cadre gaussien. Le troisieme chapitre applique les methodes precedentes a des series de debits hydrologiques. Nous estimons l'exposant de holder local pour les series completes, puis sur des series extraites afin de regarder l'evolution de la regularite au cours du temps. Nous proposons une classification des differentes stations. Nous estimons egalement l'exposant de longue dependance de ces series afin de reperer si les rivieres disposant d'un reservoir naturel ont un comportement particulier. Enfin nous montrons que les outils developpes peuvent etre appliques dans d'autres domaines par une courte etude sur la regularite des cours boursiers
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Titre traduit
Estimation of the smoothness and the strong dependence of gaussian processes. Applications to hydrological flows
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