Réarrangement relatif sur un espace mesuré et applications

par Simon Benoit

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean-Michel Rakotoson.

Soutenue en 1994

à Poitiers .

mots clés

• Inégalités isopérimétriques

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions des formes de réarrangement particulièrement adaptées à la résolution de certains problèmes posés sur une variété, des espaces à poids ou un domaine non borné. Dans la première partie, nous rappelons les différentes propriétés du réarrangement monotone et étudions sa dérivée directionnelle, dans le cadre général d'un espace mesuré fini. Cette dérivée est applelée réarrangement relatif. Dans la seconde partie, nous nous intéressons à des espaces mesurés plus réguliers, les espaces à poids et étudions la régularité du réarrangement monotone. Nous établissons que si le poids vérifie certaines propriétés de type isopérimétrique alors le réarrangement monotone appartient à un espace de Sobolev. La méthode utilisée permet d'obtenir une estimation de la dérivée. Ce type de résultat a de nombreuses applications. Notamment, nous exhibons des injections de Sobolev-Poincaré-Trudinger pour les espaces à poids avec une estimation explicite des constantes. Dans la troisième partie, nous présentons deux exemples d'application du réarrangement pondéré aux équations aux dérivées partielles. Dans le premier, nous écrivons l'équation d'Euler d'un problème de minimisation généralisant un modèle issu de la physique des plasmas et dans le second nous étudions la régularité des solutions d'un problème quasilinéaire dégénéré. Enfin, en utilisant des résultats de l'analyse convexe, nous donnons une preuve de l'existence du réarrangement relatif sur un espace de mesure infinie. Nous introduisons également de nouveaux types d'opérateurs moyennes.

Titre traduit

Relative rearrangement on a mesure space and applications

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