Thèse soutenue

Flots stochastiques isotropes et diffusions autoattractives
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Auteur / Autrice : Olivier Raimond
Direction : Yves Le Jan
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences et techniques communes
Date : Soutenance en 1994
Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

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Cette these est constituee de deux parties independantes. Dans une premiere partie, on etudie les flots stochastiques isotropes sur des eplanes homogenes particuliers (la sphere et le plan hyperbolique), dans la seconde on etudie les diffusions autoattractives. Pour trouver tous les flots stochastiques isotropes, on decompose les champs de vecteurs aleatoires isotropes. On trouve une decomposition de la matrice de covariance de ces champs de vecteurs. A partir de cette matrice de covariance, on calcule les exposants de lyapounov du flot qui decrivent le comportement asymptotique du flot. Le signe du premier exposant de lyapounov permet de discuter de la stabilite du flot. Dans le cas de la sphere, on voit que les flots tels que le champ de vecteurs associe soit un champ de gradient sont stables en dimension inferieure a quatre et sont soit stables soit instables sinon, la partie de divergence nulle du flot etant toujours facteur d'instabilite. Il en est de meme pour le plan hyperbolique, mais meme un flot de gradient peut etre instable. Ainsi, on voit l'influence de la courbure et de la dimension sur la stabilite du flot. On etudie aussi le processus distance entre deux points transformes par le flot. Pour la sphere, dans le cas stable ce processus converge vers zero presque surement, dans le cas instable il est recurrent. Pour le plan hyperbolique, dans le cas stable, le processus distance converge vers zero ou vers l'infini, dans le cas instable il diverge. Les diffusions autoattractives sont des processus attires par chacun des points de leur trajectoire passee. Ici on considere le cas de l'interaction constante en dimension superieure a deux. Le resultat demontre est la convergence presque sure de ces processus