Application de la théorie des ondelettes aux équations aux dérivées partielles
par Moncef Lahzami
Thèse de doctorat en Mathématiques
Sous la direction de Pierre Gilles Lemarié.
Soutenue en 1994
à Paris 11 .
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Résumé
Cette thèse a pour but de développer des outils pour l'application de la théorie des ondelettes à la résolution numérique des équations aux dérivées partielles. Dans un premier chapitre, on fait une étude précise de l'algorithme de Beylkin Coiffman Rokhlin (qui consiste à approximer un opérateur à l'aide de la transformée en ondelettes de son noyau distribution) sur un exemple particulier (problème de Poisson périodique en dimension 1) qui permet de faire des calculs exacts des transformées du noyau et un calcul précis de l'erreur d'approximation. A partir du deuxième chapitre on abandonne le cadre des ondelettes périodiques et on utilise la théorie des ondelettes sur l'intervalle, ce qui nous permettra d'aborder au quatrième chapitre le problème de Stokes sur le carré avec des conditions de Dirichlet. Le deuxième chapitre est consacré à la construction des bases orthogonales et bi-orthogonales d'ondelettes sur l'intervalle, en particulier des bases adaptées aux espaces des fonctions nulles sur le bord; l'instabilité des constructions proposées par Y. Meyer puis par A. Cohen, i. Daubechies et P. Vial pour le cas orthogonal (sans la nullité au bord) et la construction d'ondelettes nulles au bord nous amènent à préciser des algorithmes de construction pour de telles bases. Une fois ces bases construites, nous les appliquons dans le troisième chapitre à la caractérisation des espaces de Besov sur le cube unité de r#n, ce qui nous donne des inégalités de meilleure approximation. Enfin, le quatrième chapitre étudie le formalisme des ondelettes à divergence nulle et montre qu'il est adapté à l'étude du problème de Stokes, aussi bien sous sa formulation avec des fonctions vecteurs à divergence nulle que sous sa formulation avec des rotationnels de fonction de courant
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Titre traduit
Application of wavelet theory to partial differential equations
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