Sur la densité intrinsèque pour la mesure de Lebesgue et quelques problèmes de dynamique holomorphe

par Habib Jellouli

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Adrien Douady.

Soutenue en 1994

à Paris 11 .

mots clés

• Mesure, Théorie de la
• Poincaré, Séries de
• Siegel, Domaines de
• Domaines d'holomorphie
• Systèmes dynamiques

Résumé

Cette thèse se compose de quatre parties indépendantes. Dans la première partie, on introduit deux nouvelles notions de densité d'un ensemble à contenu dans un domaine simplement connexe u de c de mesure de Lebesgue finie: la densité inférieure de a dans u notée d*(a,u) est égale à la borne inférieure des nombres mes(g(a))/mes(u) quand g varie dans le groupe des automorphismes de u, tandis que la densité intrinsèque inférieure de a dans u notée d*(a,u) représente la borne inférieure des nombres mes((a))/mes((u)) quand varie dans l'ensemble des applications holomorphes, injectives sur u, vérifiant mes((u))<. On utilise la métrique de Poincaré et le théorème de distorsion de Koebe pour montrer que la condition d*(a,u)>0 est équivalente a d*(a,u)>0 (conjecture de Douady), et on illustre la complexité de ces notions par des exemples variés. Dans la seconde partie, on démontre dans un premier temps que si p(z)=e2iz+z2 est linéarisable en 0 et si (pn/qn)n,n est la suite des réduites de dans le développement en fraction continue, alors pour n assez grand les qn pétales en 0 du polynôme quadratique parabolique pn(z)=e2ipn/qn z+z2, sont proches du bord du disque de Siegel de p. Ensuite on considère f(z)=e2i z+o(z2) un germe holomorphe linéarisable de (c,0) et (f),i une famille r-analytique de fonctions holomorphes sur le disque de Siegel maximal < de f en o, avec f=f, f(0)=0 et f(0)=e2i pour tout ,i. On démontre que si est un nombre diophantien alors on peut construire pour k,n, une famille r-analytique (k,),i de fonctions holomorphes tel que k, conjugue f à sa partie linéaire avec un terme d'erreur o((-)k) uniformément sur tout compact de <. Enfin on donne une réduction d'une conjecture de Douady et on utilise la famille (k,),i pour donner quelques propriétés sur la conjecture réduite. La troisième partie répond à une question de S. Bullett et C. Penrose sur une estimation de modules d'anneaux, notre résultat est utilisé dans leur papier Jordan directionality for correspondences. Une deuxième estimation est utilisée par J. H. Hubbard dans le passage des points non renormalisables du plan de Julia dans le plan de Mandelbrot. Dans la quatrième partie, on utilise la notion d'indice holomorphe pour donner une précision sur un développement dans l'étude d'explosion des cylindres de Fatou-Ecalle

Titre traduit

On the intrinsic density for the Lebesgue measure and some problems in holomorphic dynamics

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