Résurgence paramétrique et exponentielle petitesse de l'écart des séparatrices du pendule rapidement forcé

Parametric resurgence and exponential smallness of the splitting of separatrices of the rapidly forced pendulum

• Auteur / Autrice : David Sauzin
• Direction : Alain Chenciner
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Développements asymptotiques

Fonctions exponentielles

Fonctions résurgentes

Séries divergentes

Perturbations singulières (mathématiques)

Systèmes dynamiques

Résumé

La théorie et les méthodes développées par Jean Ecalle sous le nom de fonctions résurgentes sont appliquées au problème de la séparation des variétés stable et instable d'un pendule perturbé ; ce problème a été posé par Henri Poincaré dans les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Le système dynamique en question est un système hamitonien, avec un terme perturbatif dont la période est un petit paramètre singulier et dont la taille est mesurée par un paramètre auxiliaire non singulier. (l'étude complète n'est menée à bien qu'au prix d'une simplification de ce terme). Comme Poincaré, nous décrivons les variétés stables et instables à l'aide de deux solutions de l'équation de Hamilton-Jacobi, trouvées en effectuant des développements convergents en puissances du paramètre non singulier. Ces solutions admettent le même développement asymptotique divergent par rapport au paramètre singulier, la divergence étant de type résurgent. Ceci permet de mesurer leur écart par la dérivation étrangère dont l'indice est le point singulier le plus proche de l'origine : on trouve un équivalent asymptotique exponentiellement petit par rapport au paramètre de perturbation singulière