Analyse quasi-sûre de certaines propriétés classiques sur l'espace de Wiener

par Laurent Denis

Thèse de doctorat en Probabilités

Sous la direction de Francis Hirsch.

Soutenue en 1994

à Paris 6 .

mots clés

Résumé

Dans un premier temps, on se donne un semi-groupe sous-markovien, fortement continu, a contractions d'operateurs. On s'attache alors a construire des espaces de sobolev associes a ce semi-groupe, a valeurs vectorielles. Les capacites etant definies de maniere usuelle, on construit des espaces de fonctions quasi-continues, a valeurs vectorielles. On donne alors un critere de convergence quasi-partout, qui trouve immediatement son application dans la generalisation des theoremes de convergences obtenus dans la theorie ergodique et la theorie des martingales avec notamment une inegalite du type doob pour les capacites. Ensuite, on etudie des equations differentielles stochastiques a coefficients tres reguliers. On montre d'abord la convergence de l'approximation d'euler, en dehors d'un ensemble mince, vers une version precisee de la solution d'une telle e. D. S. Puis, on montre que cette version precisee de la solution peut etre vue comme une application quasi-continue a valeurs dans les fonctions continues en temps et indefiniment derivables en la variable d'espace et qu'elle definit, toujours en dehors d'un ensemble mince, un flot de diffeomorphismes. Dans la troisieme partie, on etudie le comportement des martingales positives vis-a-vis des capacites qui admettent une interpretation probabiliste a l'aide des processus d'ornstein-uhlenbeck multidimensionnels. Enfin, on donne des exemples de probabilites sur l'espace de wiener, associees a une distribution positive, sous lesquelles le processus des applications coordonnees reste non pas une semi-martingale mais un processus de dirichlet

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