Processus de Lévy et conditionnement

par Loïc Chaumont

Thèse de doctorat en Probabilités

Sous la direction de Jean Bertoin.

Soutenue en 1994

à Paris 6 .

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Résumé

Cette these est constituee de deux parties. La premiere concerne les processus de levy sans saut negatif pour lesquels nous avons donne un sens au processus conditionne a rester positif. Dans le cas brownien, ce conditionnement correspond au processus de bessel de dimension 3. Nous avons ensuite etabli la decomposition en son minimum de ce processus qui est une extension de la decomposition de williams du processus de bessel de dimension 3. Avant son minimum, le processus conditionne a rester positif a la loi du processus initial tue en un premier temps d'atteinte. Apres son minimum, sa loi est celle du processus conditionne a rester positif issu de zero. Cette decomposition a alors ete appliquee a des descriptions de l'excursion en dehors de zero du processus reflechi en son minimum passe. L'excursion a d'abord ete decomposee en un temps uniformement distribue sur sa duree de vie. Dans le cas brownien, cette decomposition est due a bismut. Enfin, nous avons etabli l'analogue de la decomposition de williams de cette excursion en son maximum. La seconde partie concerne les processus stables pour lesquels nous avons defini le pont, l'excursion normalisee et le meandre deja connus dans le cas brownien. Nous avons ensuite donne des constructions trajectorielles de ces trois processus afin d'etablir des transformations entre leurs trajectoires. Il a ete remarque que la loi du meandre est absolument continue par rapport a celle du processus conditionne a rester positif. D'autre part, nous avons etendu a tous les processus stables la transformation de vervaat entre le pont et l'excursion normalisee et conditionnee a mourir en zero. Enfin, un lien entre pont reflechi et meandre analogue a celui etabli par pitman, biane et yor a ete montre en l'absence de saut positif

Titre traduit

Levy processes and conditioning

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