Étude qualitative de certains problèmes semi-linéaires elliptiques

Qualitative study of some semilinear elliptic problems

• Auteur / Autrice : Khalid Benmlih
• Direction : Otared Kavian
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Symétrie

Perturbation (mathématiques)

Équations différentielles elliptiques

Mots clés libres

Équation elliptique

Équation semi linéaire

Symétrie

Principe de maximum

Résumé

Notre étude concerne d'une part les propriétés de symétrie et la localisation du point de maximum pour des solutions d'équations aux dérivées partielles semi-linéaires et d'autre part le comportement de solution d'une équation elliptique semi-linéaire lorsque le coefficient d'ellipticité tend vers 0. On suppose que le domaine de définition des solutions est borné, régulier, symétrique par rapport à un hyperplan et convexe dans la direction normale à cet hyperplan et que la non-linéarité f est localement lipschitzienne. Si la solution est un état fondamental, nous montrons qu'elle est symétrique même si elle n'a pas un signe constant. Par ailleurs, d'autres travaux affirment que si la solution est positive elle est strictement monotone, symétrique et atteint son maximum sur l'hyperplan de symétrie. Nous montrons ensuite par la construction d'un contre-exemple adéquat que pour une fonction particulière f, la condition de convexité dans la direction normale à l'hyperplan de symétrie est nécessaire pour établir les propriétés de monotonie et de localisation de point de maximum. Nous examinons ensuite le cas d'un domaine peut régulier, à savoir lorsque le domaine est un triangle isocèle, dans le but de localiser le point du maximum dans un compact, le plus petit possible intérieur au domaine. Dans une dernière partie, nous donnons le comportement de la solution fondamentale positive d'un problème semi linéaire elliptique lorsque le coefficient d'ellipticité tend vers 0. Pour établir notre résultat, nous utilisons certaines propriétés qualitatives de la solution ainsi que le principe de concentration-compacité