Etude de modèles asymptotiques de transport de particules chargées : asymptotique de Child-Langmuir

par Naoufel Ben Abdallah

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Pierre Degond.

Soutenue en 1994

à Palaiseau, Ecole polytechnique .

Le jury était composé de Yann Brenier, Jean-Michel Ghidaglia, Sylvie Mas-Gallic.

Les rapporteurs étaient Mario Pulvirenti, François Golse.

mots clés

• Développements asymptotiques
• Modèles mathématiques
• Plasmas (gaz ionisés)
• Fonctions harmoniques
• Problèmes aux limites

Résumé

Dans cette thèse, l'étude de l'asymptotique de Child-Langmuir (acl) est effectuée pour modéliser des dispositifs semi-conducteurs ou à plasma. Cette asymptotique s'applique quand les particules sont injectées dans le dispositif avec une vitesse très faible devant celle qu'elles acquièrent à la sortie après accélération par le champ électrique. Il se crée alors une couche limite au voisinage de la zone d'émission ou il y a une forte charge (charge d'espace). Cette charge crée une barrière de potentiel réfléchissant les particules peu énergétiques et provoque une saturation du courant qui ne peut excéder une valeur limite appelée courant de Child-Langmuir. Ceci est bien connu pour les diodes à vide. Dans cette thèse on commence par appliquer la méthode pour un dispositif n+-n-n+ unidimensionnel stationnaire. Par un adimensionnement des équations on se ramène à une perturbation singulière de l'équation de Boltzmann. On en dérive un problème réduit plus facile à résoudre que le problème initial. Après avoir analyse le problème réduit, on montre la convergence. Dans une deuxième partie on modélise l'extraction d'ions d'un plasma. Outre la vitesse d'injection des particules, le modèle comporte un 2e petit paramètre (la longueur de dbye). On montre l'existence d'une zone électriquement neutre à partir de laquelle les ions sont émis selon la loi de Child-Langmuir. Le dernier travail concerne les problèmes in stationnaires et multidimensionnels pour lesquels l'acl est remplacée par une approche intermédiaire appelée méthode de pénalisation. On montre alors l'existence de solutions pour Vlasov-Poisson dans un domaine borné ainsi que pour Vlasov-Poisson pénalisé. Outre l'intérêt des résultats analytiques obtenus dans les cas simplifiés, les travaux exposés dans cette thèse peuvent fournir des éléments pour la définition d'algorithmes numériques et notamment pour le traitement des conditions aux limites.

Titre traduit

On some asymptotic models of charged particle transport: the Child-Langmuir asymptotics

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