Consequences et aspects experimentaux de conjectures abc et de szpiro

par Abderrahmane Nitaj

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Yves Hellegouarch.

Soutenue en 1994

à Caen .

mots clés

Résumé

Nous etudions dans cette these les consequences et les aspects experimentaux de la conjecture abc et des conjectures de szpiro. Nous montrons d'abord comment appliquer ces conjectures pour apporter une reponse a plusieurs conjectures et problemes ouverts, montrant ainsi leur importance en theorie des nombres. Nous consacrons ensuite une grande partie de cette these aux aspects numeriques et experimentaux de ces conjectures. Pour cela, nous etudions les equations de pell et les equations de thue. A ce propos, nous decrivons des methodes efficaces pour les resoudre et nous donnons une nouvelle demonstration de l'algorithme de cornacchia. Nous appliquons d'abord ces methodes pour etudier les nombres de ramanujan (probleme des taxicabs) decouvrant ainsi de nouvelles familles de ces nombres. Nous appliquons ensuite ces methodes pour determiner des exemples de courbes elliptiques ayant un rapport de szpiro assez eleve par rapport a sa valeur conjecturale. Finalement, nous consacrons une part importante a la recherche d'exemples de triplets pour la conjecture abc. Nous avons ainsi decouvert un grand nombre de ces triplets ayant un rapport d'oesterle-masser assez eleve par rapport a sa valeur conjecturale. Nous avons aussi decouvert les meilleurs exemples de triplets d'entiers pour le rapport de szpiro, donnant ainsi autant d'exemples de courbes elliptiques qui se distinguent de la forme prevue par les conjectures de szpiro

Titre traduit

Computational aspects of the abc and the szpiro conjectures and their applications

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