Une interprétation combinatoire des approximants de Padé

par Emmanuel Roblet

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Xavier Gérard Viennot.

Soutenue en 1994

à Bordeaux 1 .

mots clés

• Analyse combinatoire
• Padé, Approximants de

Résumé

Nous proposons des modeles combinatoires pour interpreter trois classes d'approximants rationnels: les approximants de pade, de pade en deux points et de pade vectoriels. Notre methode consiste a representer les coefficients des series formelles comme sommes de valuations de certains chemins etiquetes, a sommets dans le reseau carre. La geometrie de ces modeles permet d'unifier certains calculs portant sur les determinants de hankel, la structure de la table de pade, ou encore les fractions continues (p-fractions) arborescentes (t-fractions) ou multicontinues (fractions de lukasiewicz) respectivement liees a ces trois sortes d'approximants. De nouveaux algorithmes de calcul decoulent naturellement de ces modeles. Deux applications a la combinatoire enumerative sont donnees: une nouvelle bijection entre permutations et certaines histoires d'hermite, conduisant a un developpement en fraction continue de thron d'une serie generatrice trivariee sur le groupe symetrique, ainsi qu'une propriete de dualite pour ces memes fractions continues, relatives cette fois a l'enumeration d'objets planaires appeles polyominos parallelogrammes, suivant hauteur, largeur, aire et perimetre. Nous etudions enfin les fractions continues appelees c-fractions: leurs reduites ne fournissent pas necessairement des approximants de pade et nous quantifions en general et dans le pire des cas ce phenomene. Nous determinons si le developpement d'une serie formelle en c-fraction est une bonne methode pour une verification algorithmique de sa rationalite, et donnons un developpement inedit en c-fraction d'une serie apparentee a la fonction theta

Titre traduit

A combinatorial interpretation of pade approximants

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