Fractals et posets
par Nik Lygeros
Thèse de doctorat en Mathématiques pures
Sous la direction de Roland Fraïssé.
Soutenue en 1994
à Aix-Marseille 1 .
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Résumé
On etablit un theoreme de double inclusion sur les ensembles de mandelbrot generalises. On etend ainsi le resultat de f. V. Haeseler, et celui de j. H. Hubbard. A l'aide d'un ordinateur on denombre tous les posets d'au plus sept elements et on montre qu'ils sont tous representables par cercles. Apres une approche elementaire de la notion de fractal, on demontre des theoremes sur les ensembles de mandelbrot generalises puis on introduit le concept d'hypermandelbrot. On construit par un procede geometrique une courbe de longueur finie qui a un ensemble dense de points ou elle n'a pas de derivee. Propriete que l'on montre de maniere elementaire, creant ainsi dans la lignee des travaux de g. De rham un nouveau genre de courbes intermediaires entre les courbes classiques et les fractals classiques. On denombre tous les posets a dix elements et on introduit un nouvel outil combinatoire: le compenseur. Tous les posets a au plus onze elements verifient la propriete d'unimodalite lorsqu'on les range suivant les parametres de relation, hauteur et largeur. On decrit l'algorithme qui a calcule le nombre de posets a douze puis treize elements. Nous etudions les liens entre le nombre de sommets d'un poset et l'ordre de son groupe d'automorphismes. Reflexion sur l'utilisation, a l'aide d'ordinateurs, en relativite, de deux sortes d'etres mathematiques: les fractals-ensembles continus dont la dimension de hausdorff est superieure a la dimension topologique-, et les posets - ensembles discrets munis d'un ordre partiel - afin d'etudier l'espacetemps
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Titre traduit
Fractals and posets
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