Contribution à l'étude des propriétés arithmétiques des fractions continuées

par Pierre Stambul

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Pierre Liardet.

Soutenue en 1994

à Aix-Marseille 1 .

mots clés

• Nombres réels
• Algorithmes
• Théorie des nombres algébriques
• Numération
• Formes (mathématiques)

Résumé

Dans cette these, plusieurs algorithmes de calcul pour developper un nombre reel en fraction continuee sont etudies. Les algorithmes par transducteur de g. N. Raney qui transcrivent le developpement en fraction continuee d'un nombre ou celui de son image par une homographie h en mettant en jeu des permutations sur des produits matriciels, sont generalises. Les algorithmes developpes permettent, dans le cas ou x est a quotients partiels bornes, de majorer explicitement le plus grand quotient partiel du developpement de h(x). La methode s'applique aussi aux nombres de hurwitz et fournit de nouveaux resultats. Le cas d'une puissance de x ou, plus generalement de son image par une fonction rationnelle, se traite par des methodes analogues. Dans le cas du developpement en fraction continuee d'un nombre algebrique , des polynomes homogenes en les coefficients du polynome minimal p de sont introduits; ils constituent une nouvelle famille d'invariants sous l'action de la transformation de gauss sur p. Dans la derniere partie de ce travail, il est montre que pour certains nombres quadratiques, le developpement en produit infini de cantor est donne par la methode de newton

Titre traduit

Arithmetic properties of continued fractions expansions

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