Groupes isomorphes au groupe de multiplication d'un quasigroupe

par Jean-Pierre Guy

Thèse de doctorat en Mathématiques pures. Algèbre et théorie des nombres

Sous la direction de Lucien Beneteau.

Soutenue en 1993

à Toulouse 3 .

mots clés

• Groupes, Théorie des
• Systèmes hamiltoniens
• Groupes finis
• Congruences (géométrie)
• Isomorphismes (mathématiques)
• Multiplication complexe
• Coxeter, Graphes de
• Permutations (mathématiques)

Résumé

Probleme: soit g un groupe abstrait, est-il possible de construire un quasigroupe dont le groupe de multiplication est isomorphe a g? une reponse negative sera apportee pour les groupes hamiltoniens, de heineken-mohamed, des quaternions generalises et dicycliques d'ordre 4n. Une reponse positive sera apportee pour les groupes symetriques, alternes, diedraux, les groupes de mathieu de degre 11, 12 et 23, les groupes lineaires generaux et projectifs lineaires, certains p-groupes (semi-diedraux,. . . ), les groupes de coxeter de type bn. Le probleme pose pouvant se ramener a l'etude des groupes de multiplication de boucles, l'auteur construira des boucles commutatives, a l'aide de leurs translations a gauche, dont le groupe de multiplication est isomorphe soit au groupe (4,4|2,,2n+1) de degre 4n+2, soit au groupe (2,4,4;n+1) de degre 4n+4. Nous montrerons que certains d'entre eux sont transitifs minimaux, i. E. Sans sous groupe propre transitif. D'autre part, une boucle commutative dont le groupe de multiplication est isomorphe au p-sous groupe de sylow du groupe symetrique d'ordre p#2 sera construite par l'intermediaire de sa table de multiplication. Enfin, il sera montre que si les groupes abeliens, de fischer decentres, alternes sont representables en groupe de multiplication d'une boucle, une telle representation n'existe pas pour les groupes diedraux, les groupes de frobenius, les groupes de permutations dont le stabilisateur d'un element est de cardinal 1, 2 ou 3

Titre traduit

On groups which are isomorphic to multiplication groups of some quasigroups

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