Dérivée de mouvement brownien fractionnaire et estimation de densité spectrale

Derivative of fractional brownian motion and estimation of spectral density

• Auteur / Autrice : Rémy Drouilhet
• Direction : Benoît Truong Van
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées. Statistique
• Date : Soutenance en 1993
• Etablissement(s) : Pau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Bruit aléatoire, Théorie du

Distribution spectrale de l'énergie

Modèles mathématiques

Mouvement brownien

Résumé

Les processus à densité spectrale du type L/F sont largement utilisés pour représenter des phénomènes dits à longue mémoire. Mandelbrot et Van Ness ont propose une définition de ces processus, appelés bruits gaussiens fractionnaires, à partir des taux d'accroissements du mouvement brownien fractionnaire. Cependant, leur approche reste peu satisfaisante. Dans cette thèse, nous montrons que le bruit gaussien fractionnaire peut être rigoureusement défini comme la dérivée du mouvement brownien fractionnaire au sens des distributions vectorielles de Schwartz. De plus, notre approche permet notamment de mettre en évidence l'équivalence entre le concept de bruit gaussien fractionnaire et l'intégrale stochastique relative au mouvement brownien fractionnaire. La seconde partie de ce travail est consacrée à l'estimation de densité spectrale non nécessairement bornée à l'origine (ce qui est le cas pour les taux d'accroissements du mouvement brownien fractionnaire). Auparavant, de nombreux auteurs (Parzen, Anderson,. . . ) avaient montré que, sous certaines conditions dont l'absolue sommabilité de la fonction d'autocorrélation, certains estimateurs de la densité spectrale, obtenus par lissage de périodogramme, étaient consistants. Dans un but de généralisation, nous montrons que parmi ces estimateurs certains d'entre eux restent consistants lorsque la densité spectrale à estimer n'est pas bornée à l'origine