Intégrabilité algébrique et analyse topologique du potentiel de Kolossoff

Algebraic integrability and fomenko's surgery on liouville tori of the Kolossoff potential

• Auteur / Autrice : Mohammed Ouazzani-Jamil
• Direction : Régis Caboz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 1993
• Etablissement(s) : Pau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes hamiltoniens

Résumé

Dans ce travail, nous étudions le système hamiltonien intégrable de Kolossoff correspondant au mouvement dans le plan d'un point matériel subissant l'action de deux centres de forces. Ce système est équivalent au problème du corps solide dans le cas de Kowalevskaya. Nous donnons une description complète de la topologie de l'ensemble a#r des niveaux communs des deux intégrales premières H et F. Pour cela, on trouve d'abord le diagramme des bifurcations B du système défini par les équations différentielles de Hamilton. Il se trouve que celui-ci est exactement de lieu des racines doubles d'un certain polynôme dont les coefficients dépendent des valeurs de H et F. Ce dernier est très étroitement lié a la structure algébrique du système complexifie. L'étude détaillée de cette structure a révélé que l'ensemble complexifie des niveaux communs a#c est la partie affine d'une variété abélienne. Contrairement a la plupart des exemples connus, les flots correspondant aux deux invariants H et F ne se linéarisent pas sur cette variété abélienne. Donc, le système n'est pas algébriquement complètement intégrable dans le sens de Adler et Van Moerbeke. Pour des valeurs non critiques de H et F, on sait que l'ensemble a#r est une union finie de tores bidimensionnels (théorème de Liouville). Leur nombre a été calculé en utilisant les résultats établis dans l'étude de la structure algébrique. Pour les ensembles a#r singuliers, en utilisant la théorie de Fomenko sur la chirurgie des bifurcations des tores de Liouville, on trouve toutes les bifurcations génériques quand H et F sont dans l'ensemble B.