Le problème de Cauchy pour des équations dispersives non linéaires

par Corinne Laurey

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean-Claude Saut.

Soutenue en 1993

à Paris 11 .

mots clés

• Cauchy, Problème de
• Équations, Systèmes d'
• Schrödinger, Équation de
• Sobolev, Espaces de

Résumé

Dans une première partie, on étudie le problème de Cauchy pour une généralisation du système de Zakharov issue de la physique des plasmas. Cette généralisation se traduit par l'introduction d'une équation supplémentaire qui est soit stationnaire (cas a1), soit évolutive et non locale (cas a2). Dans le cas a1, on montre tout d'abord que pour de petites données initiales le système admet une solution faible globale. Puis, dans le cas a1 comme dans le cas a2, on montre que le problème de Cauchy est localement bien posé dans des espaces de Sobolev suffisamment réguliers. Dans une seconde partie, on s'intéresse à une équation de Schrödinger d'ordre 3, issue de l'optique non linéaire. On considère d'abord la partie linéaire de l'équation et on obtient divers effets régularisants que l'on utilise pour montrer que le problème de Cauchy est localement bien posé dans les espaces de Sobolev d'ordre strictement supérieur à 3/4, et est accompagné d'effets régularisants. Enfin, on montre, pour certaines valeurs des paramètres, que la solution est globale pour des espaces de Sobolev suffisamment réguliers

Titre traduit

The Cauchy problem for some non linear dispersive equations

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