Involutions et formes réelles d'algèbres de Kac-Moody symétrisables

par Hechmi Ben Messaoud

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Guy Rousseau.

Soutenue en 1993

à Nancy 1 , en partenariat avec Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques (autre partenaire) .

mots clés

• Kac-Moody, Algèbres de
• Automorphismes

Résumé

Dans cette thèse on s'intéresse à la classification des formes réelles des algèbres de Kac-Moody symétrisables et indécomposables. On distingue deux types de formes réelles : les formes réelles presque déployées et les formes réelles presque compactes. L'approche utilisée par Satake et Tits pour classifier les formes réelles des algèbres semi-simples complexes a été étendue par Rousseau aux formes réelles presque déployées des algèbres de Kac-Moody symétrisables, elle consiste essentiellement à représenter une forme réelle par un diagramme appelé indice de la forme. On démontre que la classification des formes réelles presque déployées est équivalente à celle des automorphismes involutifs de seconde espèce, ceci donne un critère commode pour reconnaître l'admissibilité d'un indice donné et aboutit à une classification complète de ces formes. Enfin, on se restreint aux algèbres de Kac-Moody affines pour étudier leurs formes réelles presque compactes, ces formes ont un lien avec les automorphismes involutifs de première espèce, on démontre que pour un choix convenable de la réalisation de l'algèbre affine, une forme réelle presque compacte s'obtient à partir d'une forme réelle de l'algèbre de Lie semi-simple de la réalisation en question, on obtient ainsi une "réalisation réelle" des formes presque compactes des algèbres de Kac-Moody affines. Pour une telle réalisation, on indique un procédé de construction d'une sous algèbre torique déployée maximale.

Titre traduit

Involutions and real forms of symmetrizable Kac-Moody lie algebras

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