Thèse soutenue

Performances numériques des algorithmes rapides pour les systèmes linéaires structurés Toeplitz : application en traitement du signal
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Auteur / Autrice : Evariste Kazamarande
Direction : Pierre ComonDenis Trystram
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées. Algorithmique parallèle
Date : Soutenance en 1993
Etablissement(s) : Grenoble INPG

Résumé

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La résolution des systèmes linéaires de type «Toeplitz» est potentiellement d'intérêt dans diverses disciplines scientifiques ou techniques. L'objet de cette thèse est d'étudier les performances numériques des algorithmes de résolution rapide de tels systèmes linéaires. Outre une introduction qui montre l'importance de l'étude entreprise, le travail comprend trois parties: Dans la première partie, nous présentons d'abord dans un cadre unifié les algorithmes de résolution rapide des systèmes linéaires Toeplitz. Les algorithmes de Levinson et de Schur sont détaillés, ainsi que les algorithmes d'inversion d'une matrice Toeplitz. Tous ces algorithmes ont la caractéristique commune de nécessiter seulement O(n2) opérations arithmétiques (O(n log2(n) pour les algorithmes ultra-rapides) et un encombrement mémoire réduit. Sous le formalisme de «rang de déplacement», nous donnons ensuite une généralisation des algorithmes de Levinson et de Schur aux systèmes linéaires «proches» de Toeplitz. La complexité de calcul devient O(d n2) opérations, où d est le rang de déplacement de la matrice considérée. Dans la deuxième partie, nous introduisons d'abord les définitions et les concepts de base à l'analyse de la qualité arithmétique d'un algorithme numérique. La notation «virgule flottante» et les modes d'arrondis employés en machine sont d'abord présentés, puis les notions de conditionnement d'un problème et de stabilité numérique (inverse, faible et forte) d'un algorithme sont largement discutées. Ces outils sont ensuite utilisés pour étudier la stabilité numérique des algorithmes de Levinson et de Schur. Les résultats obtenus permettent de réconcilier les points de vue divergents concernant la stabilité numérique de ces algorithmes. La troisième partie veut faire le point sur la parallélisation des algorithmes de Levinson et de Schur. Une étude de la complexité parallèle est menée