Contribution au problème de déconvolution

par Noureddine Souilah

Thèse de doctorat en Automatique industrielle

Sous la direction de Gérard Thomas.

Soutenue en 1993

à l'Ecully, Ecole centrale de Lyon .

mots clés

• Spectroscopie -- Déconvolution
• Kalman, Filtrage de
• Traitement du signal
• Itération (mathématiques)

Résumé

Ce travail s'inscrit dans le cadre de l'étude des problèmes inverses. Il s'agit de restaurer un signal inconnu ayant été dégradé par un système dynamique linéaire invariant et un bruit. Ce problème constitue un thème important en traitement du signal et des images. En effet, il apparait dans de nombreuses disciplines comme la spectroscopie, la sismologie, la calorimétrie, l'imagerie médicale ultrasonore, etc. La déconvolution nécessite la résolution d'une équation intégrale de première espèce dont la solution est loin d'être triviale. En effet, c'est un problème inverse mal pose ou la présence inévitable du bruit de mesure rend difficile l'obtention d'une solution stable. Afin d'obtenir une solution acceptable a ce problème, nous devons utiliser diverses régularisations. Celles-ci, dépendent des applications envisagées et reposent sur des propriétés déterministes des signaux traites et/ou sur leurs propriétés statistiques. Dans ce cadre, nous avons développé deux classes de méthodes. La première repose sur l'utilisation des méthodes itératives déterministes. La seconde repose sur l'utilisation des techniques de filtrage optimal de Kalman. Dans un contexte déterministe, nous avons propose deux méthodes d'optimisation avec contraintes basées sur l'emploi des techniques des fonctions de pénalité et des multiplicateurs de Lagrange. Cette dernière a été étendue au cas de la restauration d'images avec contraintes. Ces méthodes présentent une grande souplesse vis-à-vis de l'utilisation de multiples contraintes, mais ne permettent pas la prise en compte explicite de l'incertitude sur les données expérimentales (bruit). Dans le cas probabiliste, notre approche consiste en l'utilisation du filtrage de Kalman et de l'information a priori de type déterministe sur le signal à restaurer telle que la positivité. Le problème de déconvolution devient celui du filtrage non linéaire que nous avons résolu par deux méthodes. L'une d'entre elles repose sur une version itérative du filtrage de Kalman; l'autre est basée sur le filtre de Kalman étendu mais dont l'état est généré par une modélisation markovienne autorégressive permettant ainsi de réduire le volume de calculs et d'offrir un traitement en ligne de la restauration nécessaire dans les applications en temps réel. Les différentes simulations numériques et comparaisons effectuées, montrent que nos méthodes possèdent de nombreuses performances et un pouvoir super-résolvant

Titre traduit

Contribution to the problem of optimal deconvolution

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